Hạng Của Ma Trận Là Gì

Bài viết này appmobiles.info giới thiệu đến bạn đọc định hướng và hạng của ma trận kèm các ví dụ với phân loại các dạng toán trường đoản cú cơ bản đến nâng cấp về hạng của ma trận:

*

1. Tìm kiếm hạng của ma trận mang lại trước

Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1\ 2& - 1&3&1&3\ 3&2&0& - 1&2\ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$

*

Ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là tía nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ kiếm tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z\ y&z&x\ z&x&y endarray ight).$

Giải. Theo vi – ét tất cả $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ với

Do đó $r(A)le 2.$ còn mặt khác $D_12^12=xz-y^2Rightarrow yD_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$

Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9\ 0&10&1&10 endarray ight)$ bằng phương thức định thức bao quanh.

Bạn đang xem: Hạng của ma trận là gì

Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2\ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3\ - 1&3&0\ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$

Kiểm tra những định thức cấp cho 4 bảo phủ định thức $D_123^123$ có

$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$

Vậy $r(A)=3.$

Ví dụ 10: Tìm hạng của ma trận

Giải.

Ta xét những định thức cấp cho 5 phủ quanh định thức cấp cho 4 trên

Vậy $r(A)=4.$

2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số

Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$có hạng nhỏ tuổi nhất.

*

Ví dụ 2: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$có hạng nhỏ nhất.

*

Ví dụ 3: Tìm $a$ nhằm hạng của ma trận sau nhỏ tuổi nhất, với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$

*

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ minh chứng rằng với mọi $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$

Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$

*

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$

*

Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận sau

$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n\ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n\ ...&...&...&...&...\ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n\ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$

Ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ nhỏ nhất.

Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$

Giải.

$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$

Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn hiểu tự kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray ight)$ có hạng bởi 2.

Xem thêm: Anh Hỏi Em Có Bao Giờ Em Hỏi, Hãy Trả Lời Em Lyrics By Lệ Quyên

*

Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ có hạng nhỏ nhắn nhất.

*

Ví dụ 14. Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ bự nhất.

3. Hạng của ma trận phụ hợp

Định lí. Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n,nge 2$ với $A^*$ là ma trận phụ phù hợp của $A,$ lúc đó ta có:

$r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$

Chứng minh xem bài xích giảng trên đây:https://appmobiles.info/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

4. Dạng toán minh chứng về hạng của ma trận

Ta áp dụng các đặc điểm về hạng của ma trận sau đây:

$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ với $A,B$ là hai ma trận cùng cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ cùng với $A,B$ là nhị ma trận bất kì làm sao cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ cùng với $A,B$ là nhì ma trận vuông cùng cấp.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cung cấp $n$ bằng lòng $A^2=E.$ minh chứng rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$

Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ gồm $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ minh chứng rằng $r(A)ge n-1.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc đó $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ với

Do đó $det (C)-(-1)^n$ chia hết đến 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$

Mặt không giống $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$

Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ có $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ kiếm tìm hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$

Ta bao gồm $r(B)=r(C)=1$ cùng $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$

Mặt không giống $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Hiện tại appmobiles.info phát hành 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành tài chính của tất cả các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kỹ năng và kiến thức và cách thức giải bài tập những dạng toán kèm theo mỗi bài học. Khối hệ thống bài tập rèn luyện dạng từ bỏ luận bao gồm lời giải chi tiết tại website để giúp đỡ học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học góp học viên lấy điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 cùng Toán cao cấp 2 trong những trường kinh tế.

Sinh viên những trường ĐH sau đây rất có thể học được bộ combo này:

- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân

- ĐH nước ngoài Thương

- ĐH yêu mến Mại

- học viện Tài Chính

- học viện chuyên nghành ngân hàng

- ĐH kinh tế tài chính ĐH giang sơn Hà Nội

và những trường đại học, ngành kinh tế tài chính của các trường ĐH không giống trên mọi cả nước...