Cho Nửa Đường Tròn Tâm O

Cho nửa con đường tròn tâm O 2 lần bán kính AB, M là 1 điểm ngẫu nhiên ở trong nửa mặt đường tròn (M không giống A, B). Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến Ax với By của nửa đường tròn kia theo thứ tự tại C và D.

Bạn đang xem: Cho nửa đường tròn tâm o

a) Chứng minh: (widehat COD = 90^0)

b) Call K là giao điểm của BM với Ax. Chứng minh: (Delta KMO sim Delta AMD)

c) Tìm giá trị bé dại duy nhất của tổng diện tích nhị tam giác ACM với BDM.


Lời giải của Tự Học 365

Giải đưa ra tiết:

Cho nửa con đường tròn trung khu O 2 lần bán kính AB, M là một trong những điểm ngẫu nhiên ở trong nửa mặt đường tròn (M không giống A, B). Tiếp đường trên M cắt những tiếp đường Ax cùng By của nửa đường tròn đó lần lượt tại C với D.

 

*

a) Chứng minc (widehat COD = 90^0).

Ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM (đặc thù nhị tiếp con đường giảm nhau)

Mà (widehat AOM) với (widehat BOM) là hai góc kề bù ( Rightarrow OC ot OD).

Xem thêm: La Bai Ma Thuat - Bài Ma Thuật: Yu

( Rightarrow widehat COD = 90^0).

b) Gọi K là giao điểm của BM cùng Ax. Chứng minh (Delta KMO syên ổn Delta AMD)

Xét tứ đọng giác OBDM có (angle OBD + angle OMD = 90^0 + 90^0 = 180^0 Rightarrow ) Tứ giác OBDM là tđọng giác nội tiếp (Tứ đọng giác gồm tổng hai góc đối bởi 1800)

( Rightarrow angle ABM = angle ODM) (hai góc nội tiếp thuộc chắn cung OM)

Lại có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

( Rightarrow angle KAM = angle ODM)

Xét tam giác AMK và tam giác DMO có:

(angle KAM = angle ODM)(cmt)

( Rightarrow angle AMK = angle OMD = 90^0)

( Rightarrow Delta AMK sim Delta DMO,,left( g.g ight) Rightarrow fracMKMO = fracMAMD)

Ta có:

(eginarraylangle KMO = angle KMC + angle CMO = angle KMC + 90^0\angle AMD = angle AMB + angle BMD = angle BMD + 90^0endarray)

Mà (2 góc đối đỉnh)

Nên (angle KMO = angle AMD)

Xét tam giác KMO và tam giác AMD có:

 

( Rightarrow Delta KMO syên Delta AMD,,left( c.g.c ight))

c) Tìm cực hiếm nhỏ dại duy nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM cùng BDM.

Ta dễ dàng chứng tỏ được (Delta ACM slặng Delta BOM,,left( g.g ight) Rightarrow fracS_ACMS_OBM = fracAC^2R^2 = fracAM^2BM^2)

Lại tất cả (S_OBM = frac12S_MAB Rightarrow S_ACM = frac12S_MAB.fracMA^2MB^2) 

Tương từ bỏ (Delta BDM slặng Delta AOM,,left( g.g ight) Rightarrow fracS_BDMS_AOM = fracBD^2R^2 = fracBM^2AM^2)

Lại gồm (S_AOM = frac12S_MAB Rightarrow S_BDM = frac12S_MAB.fracBM^2AM^2)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = frac12S_MABfracAC^2 + BD^2R^2)

(Delta MAB syên ổn Delta MCD,,left( g.g ight) Rightarrow fracS_MABS_MCD = fracAB^2CD^2 Rightarrow S_MAB = S_MCD.frac4R^2CD^2 = frac12R.CD.frac4R^2CD^2 = frac2R^3CD)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = frac12.frac2R^3CD.fracAC^2 + BD^2R^2 = R.fracAC^2 + BD^2CD)

Ta bao gồm (AC = CM;,,BD = BM;,,CD = CM + DM)

( Rightarrow S_ACM + S_BDM = R.fracCM^2 + DM^2CM + DM)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta bao gồm (left( CM + DM ight)^2 le 2left( CM^2 + DM^2 ight) Rightarrow fracCM^2 + DM^2left( CM + DM ight)^2 ge frac12)

(eginarrayl Rightarrow fracCM^2 + DM^2CM + DM ge frac12left( CM + DM ight) = frac12CD ge frac12AB = R\ Rightarrow S_ACM + S_BDM = R.fracCM^2 + DM^2CM + DM ge R^2endarray)

Dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow left{ eginarraylCM = DM\CD = ABendarray ight.) , lúc ấy M là vấn đề ở vị trí chính giữa của cung AB.

Vậy (left( S_ACM + S_BDM ight)_min = R^2 Leftrightarrow M) là vấn đề ở trung tâm của cung AB.